La evolución que ha experimentado el software matemático, especialmente en la última década, nos ofrece nuevas formas de enseñar, aprender y hacer matemáticas. Sorprendentemente, en muchas de nuestras universidades esta posibilidad no ha supuesto cambios significativos en la didáctica de las asignaturas de esta área de conocimiento. Para ello sería necesario un proceso de innovación que está lejos de haberse producido. En el presente artículo se hace una reflexión de la situación actual, se comentan algunos inconvenientes para que dicho proceso se produzca, se dan una serie de argumentos (complementados con algunos ejemplos) por los cuales resulta conveniente (si no necesario) la modificación en el diseño curricular de muchas asignaturas del ámbito cuantitativo y, por último, se proponen futuras líneas de estudio relacionadas con el tema.
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"Si un maestro del Madrid de los Austrias volviera a la vida se llevaría un susto ante un quiosco de periódicos y casi enloquecería frente al televisor, pero recobraría la tranquilidad al entrar en una escuela porque allí vería hacer más o menos las mismas cosas que se hacían en su tiempo…"
Alberto Moncada
, Sociología de la educación |
"Computer algebra systems are threatening enough to the traditional mathematics curriculum and to those who would defend its every foible, but they tend to be hard to use, which limits their power to subvert. If our students are going to have access to something that not only gives them the chance to do routine calculations by machine, but does so in a way they can easily get to grips with, then it looks as if we'll all need to think hard about what kind of things we might usefully teach them instead"
Phil Ramsden |
| 1.
| Introducción |
Las tendencias en enseñanza se orientan, en la actualidad, al fortalecimiento de competencias, conocimientos y valores fundamentales para aprender. Tales tendencias identifican los avances tecnológicos como un valioso recurso capaz de acompañar a la enseñanza de distintas materias en cualquier etapa educativa.
En nuestros días, sería deseable que muy pocos profesores pusiesen en duda la auténtica revolución que, tanto en la investigación como en la enseñanza universitaria, han supuesto los desarrollos tecnológicos de finales del siglo XX, en especial el uso de los ordenadores y de Internet. La experiencia cotidiana demuestra que, desafortunadamente, la afirmación anterior no es tan obvia como a priori podría parecer.
En poco más de una década hemos pasado de usar una máquina de escribir a usar un procesador de texto, de utilizar calculadoras a utilizar hojas de cálculo, de frecuentar el correo ordinario a frecuentar el e-mail, de recurrir a escuadra y cartabón a recurrir a sofisticados programas de diseño gráfico, de poder consultar la biblioteca de la propia universidad a poder consultar cientos de bibliotecas y bases de datos on-line, etc.
Sin duda, todos los cambios anteriores han supuesto no sólo un incremento significativo en la capacidad productiva de estudiantes y profesores (las herramientas informáticas abren novedosas líneas de experimentación e investigación, a la vez que favorecen la generación de nuevos y mejores recursos didácticos), sino también una nueva forma de crear y difundir conocimientos o experiencias cognitivas.
En nuestra opinión, existe aún un campo en el que el uso de los avances tecnológicos no se ha mostrado aún, al menos en este país, en todas sus posibilidades: la enseñanza de las matemáticas. Si bien es cierto que el uso de los ordenadores y de programas y lenguajes informáticos ha ido bastante ligado a la enseñanza de asignaturas tales como el cálculo numérico, la investigación operativa, y la estadística, hasta la fecha aún se aprecia un cierto recelo a la hora de dar un paso más allá e introducir tales herramientas como componente básico en cursos de análisis o de álgebra lineal, donde podrían ser realmente útiles. En este sentido, creemos necesario el que estos recursos se integren en el currículo (qué enseñar y cómo hacerlo) como elementos importantes del mismo.
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| 2.
| ¿Por qué razón no se usa todo el potencial de los programas matemáticos? |
A nuestro entender, son varias las causas:
1. En primer lugar, podríamos considerar la inexistencia, hasta tiempos recientes, de programas matemáticos de uso realmente sencillo, potentes, y a un precio razonable. Este hecho ha producido el que una gran parte del profesorado desconozca las verdaderas capacidades de estas nuevas herramientas que el desarrollo tecnológico pone a nuestra disposición.
2. En segundo lugar, está el esfuerzo adicional que supone, especialmente para los profesores, el tener que diseñar asignaturas en las que se integren los conceptos teóricos con prácticas, aplicaciones y problemas orientados al uso de algún software específico. Relacionado con esto, algo que puede resultar preocupante es la poca predisposición de algunos docentes a la formación continua y al reciclaje profesional.
3. Finalmente, y no menos importante, el temor que en muchos profesores de matemáticas provoca el fantasma de la automatización de los procesos de cálculo: si el ordenador lo hace todo.... ¿qué aprenderán los estudiantes?.
Por lo que se refiere al primero de los puntos anteriores, hoy en día ya es posible encontrar en el mercado programas del ámbito matemático y estadístico que combinen la facilidad de uso de un procesador de texto con una potencia de cálculo (tanto numérico como simbólico) y de representación gráfica realmente destacables, todo ello a un precio bastante razonable para la institución universitaria que adquiere las licencias (en muchos casos existe también una licencia especial para estudiantes [1]).
En cuanto al esfuerzo de profesores para adaptar su metodología a estas nuevas herramientas y el esfuerzo que debe hacerse para conocer su funcionamiento, es harto conocida la problemática y la dificultad que plantea cualquier propuesta de innovación, tanto en cuestiones metodológicas como curriculares, en cualquiera de los niveles de enseñanza. En este caso, el nivel universitario no está exento de obstáculos frente a la introducción de cambios. Al respecto, podemos encontrar diversos estudios, como por ejemplo el realizado por un equipo del Departamento de Didáctica de las Ciencias Experimentales y Sociales de la Universidad de Valencia. En él se hace un repaso a los aspectos más importantes que influyen en la dificultad de diseñar e implantar reformas educativas y, en consecuencia, innovaciones metodológicas. [2]).
Finalmente, por lo que concierne al "fantasma de la automatización", dichos temores son más propios de aquellos que persiguen convertir a sus estudiantes en máquinas de calcular y/o de memorizar que en profesionales creativos, con una capacidad de raciocinio desarrollada, dotados de sentido crítico, y con una buena dosis de intuición y de recursos matemáticos que les puedan ser útiles en su trabajo. Como indican Nancy Dávila y sus colaboradores en su artículo sobre el uso del ordenador en la docencia de las matemáticas [3], "si se puede prescindir de la parte mecánica de cada problema, es posible dedicar más tiempo al análisis de los conceptos que intervienen y de las soluciones resultantes".
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| 3.
| ¿Cuáles son realmente las ventajas que ofrece un uso adecuado de los programas matemáticos respecto a una formación "tradicional"? |
Las ventajas de la correcta utilización de un software matemático con las características anteriormente descritas son varias: en primer lugar, permite al profesor explicar conceptos que, de otra forma, quedarían en un nivel de abstracción difícil de asimilar por muchos estudiantes en un tiempo breve: volúmenes generados por funciones al rotar sobre un eje, representaciones de superficies en 3D, conceptos y resultados teóricos susceptibles de ser comprobados empíricamente (tales como la aproximación de una función mediante polinomios de Taylor, la convergencia de series infinitas, la existencia de movimientos caóticos, el teorema central del límite, etc.). Por añadidura, este tipo de software permite una participación mucho más activa y creativa (quizás la palabra sea constructivista) por parte del estudiante: con esta herramienta, el estudiante podrá adentrarse por sí mismo (preferentemente de forma guiada por su profesor) en nuevos mundos que le permitirán conjeturar, experimentar, y extraer conclusiones. Esto abre a cualquier estudiante con unos mínimos conocimientos informáticos toda una gama de posibilidades (simulación estadística, programación de algoritmos numéricos, análisis avanzado de problemas de investigación operativa y de optimización, etc.) que eran poco o nada factibles hace tan sólo cinco o diez años, cuando los programas matemáticos eran tan rudimentarios y complejos como los procesadores de texto o las hojas de cálculo de la época. En definitiva, y utilizando palabras de la profesora María Victoria Sánchez (Universidad de Sevilla), "saber matemáticas pasa a entenderse no sólo como una acumulación de hechos y procedimientos, sino como la capacidad de 'hacer' matemáticas".
Disponer de estos programas abre la posibilidad de tener un potente laboratorio matemático que acompañará siempre al estudiante en su proceso de aprendizaje, permitiéndole realizar pruebas complejas de cálculo numérico y simbólico, trasladando así soluciones y estrategias desde los contextos teóricos originales a otros nuevos mucho más inteligibles para él.
Por si las razones anteriores no fuesen suficientes, hay, además, otra razón de peso: la individualización del proceso de enseñanza. En efecto, el uso de este tipo de software facilita la adaptación curricular a las necesidades e intereses de cada alumno, convirtiéndose así en el complemento perfecto del profesor y de los materiales: cada alumno podrá reforzar, con ayuda de este tipo de programas, aquellos puntos conceptuales que le resulten más difíciles de asimilar, y practicar con ellos tantas veces como su tiempo (y ganas) lo permita.
Es muy importante observar también que el aprendizaje de este tipo de software se puede interpretar en clave de inversión de tiempo. Inversión que se comenzará a rentabilizar totalmente en el momento en que el estudiante empiece a ejercer como profesional, ya sea de forma liberal o en el ámbito de cualquier empresa donde el uso de estas herramientas le sean requeridos.
Para terminar, es obvio que el uso correcto de un buen programa matemático puede resultar un elemento fundamental en la motivación del estudiante, tanto por las razones anteriormente citadas como por el dinamismo y la interactividad que se consigue en el proceso.
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| 4.
| Algunos ejemplos ilustrativos |
Si bien resultaría imposible realizar una causística completa de las opciones que ofrecen este tipo de software para la enseñanza de las matemáticas, hemos considerado interesante incluir enlaces a cuatro ejemplos. Los ejemplos muestran las posibilidades de uso de diferentes programas en diversas áreas de las matemáticas:
1. Análisis de sensibilidad en programación lineal (investigación operativa) con Excel.
2. Distribución muestral y Teorema Central del Límite (estadística) con Minitab.
3. Presentación de conceptos mediante representación gráfica de funciones 3D (análisis) con MathCad.
4. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante métodos numéricos (cálculo) con Mathematica.
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| 5.
| Conclusiones |
El objetivo final de la enseñanza en niveles superiores debe ser la formación de buenos profesionales, preparados para incorporarse al mundo laboral con garantías de poder desarrollar su tarea de forma eficiente y, a ser posible, aportando la frescura innovadora de la que su proceso de formación debería proveerle. Concretamente, las universidades tendrían que convertirse en la punta de lanza en la propuesta de nuevos procesos, métodos, teorías, y conceptos, proveyendo a los diferentes ámbitos profesionales de ellos a partir de la incorporación de los recién titulados. Quizás sea una idea utópica, pero que no deberíamos perder de vista. Esta no sólo es una de las misiones de la universidad sino, a nuestro entender, la más importante junto con la actividad investigadora. Para ello, los métodos de enseñanza deben considerar la necesidad de un constante proceso de renovación que esté acorde con las necesidades del mundo laboral.
Lo que ocurre en la enseñanza de la materia que nos ocupa, las matemáticas, parece además ser una situación contradictoria. Las Ciencias Matemáticas pueden considerarse parte fundamental en los trabajos de investigación y desarrollo en ámbitos punteros como son las tecnologías de la información y la comunicación, las ciencias (experimentales o económicas) y las ingenierías. Por dicho motivo, el hecho de que sea una de las áreas de conocimiento cuyo método de enseñanza y aprendizaje haya evolucionado menos en los últimos 40 años, no deja de ser una paradoja (invitamos al lector a realizar una revisión de los programas actuales de matemáticas en distintas universidades españolas).
Parece pues bastante obvio que el presente y el futuro de la educación en el ámbito de las matemáticas pasa inevitablemente por la implantación gradual de estas nuevas herramientas y un cambio en los métodos de enseñanza-aprendizaje. Sin duda, deberemos apostar por un modo de aprender usando los conceptos de forma práctica, aumentando la capacidad de razonar de nuestros estudiantes, de resolver problemas no rutinarios, de comunicar y utilizar contextualmente las ideas matemáticas, etc. ¿Supondrá ello una revolución en la enseñanza universitaria de las matemáticas? Como casi siempre ocurre, la tecnología nos proporciona los medios, queda en nuestras manos el saber aprovecharlos o no debidamente...
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| Futuras líneas de trabajo |
Los autores pensamos que merecería un capítulo aparte el análisis de cómo ha ido evolucionando, en los últimos veinte años, la integración de este tipo de programas en los planes de estudio de asignaturas cuantitativas en diferentes universidades representativas de nuestro país. El análisis podría incluso ampliarse al resto de Europa y, posteriormente, complementarlo con una comparativa entre la evolución experimentada en nuestro continente y la experimentada en los EE.UU.
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| EJEMPLOS: |
El presente apartado es un ejemplo de cómo podemos utilizar la macro Solver de Excel para resolver un problema de programación lineal y realizar el posterior análisis de sensibilidad asociado.
En este caso, el análisis que se propone en el ejemplo, sería realmente tedioso o incluso impracticable sin la ayuda del ordenador. De todos son conocidas las dificultades y limitaciones que conlleva la realización manual del algoritmo Simplex.
Es obvio que diseñar este tipo de actividades e integrarlas en el programa de la asignatura requerirá no sólo de un buen conocimiento del software sino, además, de una coherencia didáctica respecto a lo que se le propone al estudiante, teniendo en cuenta los conceptos o contenidos que pretendemos reforzar con ellas. En este sentido, es fundamental ofrecer al estudiante una guía de cómo, cuándo y para qué utilizar esta herramienta informática. Incluir el aprendizaje y el uso de software específico para las asignaturas de matemáticas en un nivel de enseñanza superior requiere replantearse, tanto la metodología como el propio currículum de la asignatura (selección diferente de contenidos).
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Problema: Una compañía produce televisores, equipos Hi-Fi y altavoces utilizando una serie de componentes comunes, tal y como se indica en la tabla inferior.
Estos componentes están disponibles en cantidades limitadas, por lo que se trata de plantear el problema de maximización restringida de beneficios sabiendo que la contribución neta de los tres productos es, respectivamente, de 75 €, 50 €, y 35 €.
Solución:
El primer paso sería plantear el problema en la hoja de cálculo:
En el menú de diálogo de Solver debemos especificar los inputs del problema (a fin de facilitar la lectura e interpretación del problema, hemos hecho uso de nombres para referirnos a las celdas correspondientes):
De entre las posibilidades que ofrece Solver, nos interesa seleccionar en este caso la casilla Adoptar modelo lineal dentro de Opciones:
Una vez llegados a este punto, es suficiente con pulsar el botón Resolver para obtener la ventana de Resultados (Excel se encarga de aplicar los laboriosos cálculos que requiere el método Simplex):
Elegimos las opciones Respuestas y Sensibilidad:
Excel nos dará el siguiente output:
Una vez identificados los componentes del informe, su interpretación es casi inmediata: la solución óptima sería producir 200 televisores, 200 equipos Hi-Fi, y ningún altavoz.
La columna de Coste (Gradiente) Reducido nos indica que no resultará rentable producir altavoces a menos que el beneficio que éstos generen aumente en 2,5 € (llegando a 37,5 €).
Examinando los Rangos de los Coeficientes Objetivo, observamos que la solución actual no variaría si el beneficio generado por cada televisor se moviese en el rango 70-100 €, o si el generado por los equipos Hi-Fi lo hiciese en el rango 37,5-75 €, o si el de los altavoces no se incrementase en más de 2,5 €.
Los Precios Duales determinan, junto con los Rangos del Right-Hand-Side, que estaríamos dispuestos a pagar hasta 12,5 € por cada unidad adicional de conos hasta un máximo de 100 conos, y hasta 25 € por cada unidad adicional de componentes electrónicos hasta un máximo de 50 componentes.
Observar que, por el contrario, perderíamos 25 € por cada componente electrónico que nos quitasen de los 600 disponibles, hasta un máximo de 200 unidades (cifra a partir de la cual será necesario volver a programar el ejercicio).
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Ejemplo 2: distribución muestral y TCL
El siguiente ejemplo pone de manifiesto cómo el estudiante puede hacer uso de un paquete estadístico para disponer de un laboratorio virtual en el cual puede llevar a cabo interesantes experimentos. Pensamos que, en las propuestas metodológicas de la enseñanza de las asignaturas cuantitativas, se debería fomentar el que el estudiante trabajase con datos que representen una aplicación práctica de lo que se está aprendiendo.
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A fin de visualizar el Teorema de Distribución de las Medias Muestrales, vamos a simular, con ayuda del Minitab, la extracción de k = 100 muestras de una variable normal con media 80 y desviación típica 5. Tomaremos como n = 9 el tamaño de cada muestra:
Seleccionamos Calc > Random Data > Normal:
Rellenamos los campos según se indica en la imagen inferior:
Habremos generado así una matriz de 9 columnas y 100 filas. Cada componente de esta matriz es una observación aleatoria proveniente de una distribución normal de media 80 y desviación estándar 5. Consideraremos que cada una de las filas obtenidas es una muestra, y lo que haremos ahora será calcular la media asociada a cada una de estas 100 muestras:
Seleccionamos Calc > Row Statistics y rellenamos los campos según se indica:
Disponemos ahora de 100 nuevos valores (las medias) situados en la columna 20. A continuación se muestran los Dotplot asociados a las columnas C1 (que representa 100 valores aleatorios obtenidos de una normal 80-5), y C20:
Seleccionamos Graph > Character graph > Dotplot :
Finalmente, analizaremos también los estadísticos que describen la distribución de las medias muestrales:
Observamos lo siguiente:
1. La distribución de la v.a. inicial X era normal y, según el gráfico de puntos anterior, parece que también la distribución de la v.a. X-barra es normal, de media muy similar y desviación estándar menor (los puntos de la X-barra están menos "dispersos" que los de la X).
2. Más concretamente, la media de los 100 valores contenidos en C20 (y que es una aproximación a la media de la v.a. X-barra) es de 79,566 , valor muy similar a la media de X (que era de 80). Esto es coherente con lo que la teoría nos indica:
3. La desviación estándar de los 100 valores en C20 (que será una aproximación a la desviación estándar de X-barra) es de 1,596 . Si tomamos la desviación estándar de X (que era de 5) y la dividimos por 3 (raíz de 9, el tamaño de la muestra), obtenemos el valor 1,667. Ambos valores son muy parecidos, tal y como la teoría predice:
Es interesante notar que aún no habiendo tomado inicialmente una variable normalmente distribuida, las conclusiones obtenidas serían semejantes siempre que el tamaño muestral n sea lo suficientemente grande (tal y como predice el Teorema Central del Límite). El proceso de simulación a seguir es análogo al anterior.
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Ejemplo 3: representación gráfica de funciones
Una de las potencialidades didácticas de estas herramientas es la posibilidad de visualizar gráficamente determinados conceptos teóricos o resultados, lo que permite una mejor y más rápida asimilación de los conceptos. Resulta evidente que la utilización de estos recursos puede aplicarse en varios entornos profesionales y/o educativos, lo cual los hace aún más interesantes y necesarios.
En el siguiente ejemplo, el objetivo es visualizar el concepto matemático de punto de silla y entender qué ocurre en su entorno.
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Si el valor de una función f(x,y) en un punto crítico (x0,y0), no es ni un máximo ni un mínimo, entonces dicho punto se denomina punto de silla.
La elección del nombre no es casual: un ejemplo claro de dicho "punto de silla" (que siendo un punto crítico no es un máximo ni un mínimo), sería el del punto "central" de una silla de montar a caballo:
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Ejemplo 4: ecuaciones diferenciales
Entre las innumerables opciones que los programas matemáticos actuales ofrecen, una de las más interesantes es la posibilidad de programar, de forma sencilla, todo un conjunto de métodos numéricos de resolución.
A continuación veremos cómo podemos usar en la práctica el método de Heun para estimar la solución de un problema de Cauchy (problema en el que interviene una ecuación diferencial ordinaria junto con unas condiciones iniciales). En este caso, además, obtendremos una representación gráfica de tal solución aproximada y la compararemos con la solución exacta.
Ejemplo: resolver el Problema de Cauchy: y' = (x-y) / 2 en [0,3] con y(0) = 1. Usar el método de Heun con m = 20 pasos.
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[Fecha de publicación: julio 2001]
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